Il concetto di Infinito: da Pitagora ai numeri reali

Last Updated on 3 Agosto 2025 by Micaela

Il concetto di infinito (sì, quello che ci manda in crisi)

Uno dei concetti matematici più affascinanti e, diciamocelo, destabilizzanti è proprio lui: l’infinito.
Cosa significa? Da dove arriva? E soprattutto: ha un senso o ci sta trollando da secoli?

In effetti, potremmo partire da un’analisi filosofica, ma la cosa resterebbe comunque complicata.
Però non temere, ti porto a fare un viaggio tra storia, numeri e un pizzico di ironia.

Infinito: un concetto troppo scomodo per l’antichità

Nell’antichità, tutto ciò che sfuggiva alla comprensione veniva considerato una minaccia. E l’infinito?
Trattato come un parente scomodo: negato, evitato, mai invitato alle cene.

I Greci lo definivano solo in negativo: “non finito”. Punto. Stop. Nessuna voglia di approfondire.
Eppure… qualcosa bolliva in pentola.

I Pitagorici e il triangolo che distrusse l’ordine

I seguaci di Pitagora credevano nella finitezza di tutto. Per loro, i segmenti erano misurabili e commensurabili.
Finché un discepolo (di quelli un po’ troppo svegli) applicò il Teorema di Pitagora su un triangolo isoscele, ovvero con i cateti uguali e lunghi entrambi 1.

Risultato?
Il rapporto tra cateto e ipotenusa era la radice di 2: un numero irrazionale.
Apriti cielo. Quel poveretto venne espulso. Aveva appena acceso la miccia: i numeri non razionali erano realtà.

Achille, la tartaruga e la somma infinita

Poi arrivò Zenone con i suoi paradossi. Il più famoso? Achille e la tartaruga.
Achille, velocissimo, insegue una tartaruga lentissima… che continua a restare avanti, perché ogni volta che lui colma la distanza, lei si sposta un pochino.

Morale: solo una somma infinita di micro-distanze può portare Achille a raggiungerla.

E qui si fa strada l’idea che una somma infinita può… dare un risultato finito. Troppo.

Galilei e la scoperta dell’infinito (in incognito)

Il nostro Galileo notò che esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali e i loro quadrati:

1 -> 1
2 -> 4
3 -> 9
4 -> 16 e così via

Insomma, un sottoinsieme (i quadrati perfetti) aveva la stessa cardinalità (ovvero lo stesso numero di elementi) dell’insieme intero!
Una parte = il tutto? Ma Euclide non sarà contento.

Galilei, colto da vertigine matematica, lasciò perdere. Ma il seme era stato piantato.

Cantor e i livelli dell’infinito (sì, ce ne sono tanti)

Fu Georg Cantor, pover’anima, a portare il concetto di infinito a un livello superiore.
Talmente superiore che fu preso per pazzo. Ma lui non si fermò.

Definì un insieme infinito se può essere messo in corrispondenza con una sua parte (esattamente come aveva fatto Galilei tra i numeri interi e i loro quadrati).
E poi: gli infiniti non sono tutti uguali!

• L’insieme dei numeri naturali è infinito
• Ma quello dei numeri reali è più infinito (si può dire? Sì, se sei Cantor)

Risultato? “Lo vedo, ma non ci credo”, diceva lui stesso. E noi lo capiamo benissimo.

Le geometrie alternative e l’infinito… spaziale

L’idea di infinito ha invaso anche la geometria: quella euclidea comincia a stare stretta.
Con Riemann, nasce una geometria in cui le rette parallele possono incontrarsi all’infinito.

Eh sì, l’infinito è ovunque. Anche nei film, nelle teorie dello spazio e persino nei meme sui buchi neri.

E i Maya, lo conoscevano?

Domanda interessante. Pare che anche i Maya avessero nozioni di ciclicità e concetti vicini all’infinito, soprattutto nella rappresentazione del tempo.
Ma questa… è un’altra storia.